Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & - 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & - 7 & 6 \end{array}]$

Passaggio 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 3 \cdot 6 - (- 7 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$a_{11} = 18 - (- 7 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 7 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$a_{11} = 18 - - 28$

Passaggio 2.1.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 28$ .

$a_{11} = 18 + 28$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $18$ e $28$ .

$a_{11} = 46$

Passaggio 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 4$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$a_{12} = 12 - 5 \cdot 4$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$a_{12} = 12 - 20$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai $20$ da $12$ .

$a_{12} = - 8$

Passaggio 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot - 7 - 5 \cdot 3$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$a_{13} = - 14 - 5 \cdot 3$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$a_{13} = - 14 - 15$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai $15$ da $- 14$ .

$a_{13} = - 29$

Passaggio 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot 6 - (- 7 \cdot - 2)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $6$ .

$a_{21} = 0 - (- 7 \cdot - 2)$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 7 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 14$

Passaggio 2.4.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$a_{21} = 0 - 14$

Passaggio 2.4.2.2.2

Sottrai $14$ da $0$ .

$a_{21} = - 14$

Passaggio 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $6$ .

$a_{22} = 24 - 5 \cdot - 2$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$a_{22} = 24 + 10$

Passaggio 2.5.2.2.2

Somma $24$ e $10$ .

$a_{22} = 34$

Passaggio 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 4 \cdot - 7 - 5 \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $- 7$ .

$a_{23} = - 28 - 5 \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$a_{23} = - 28 + 0$

Passaggio 2.6.2.2.2

Somma $- 28$ e $0$ .

$a_{23} = - 28$

Passaggio 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$a_{31} = 0 - 3 \cdot - 2$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$a_{31} = 0 + 6$

Passaggio 2.7.2.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$a_{31} = 6$

Passaggio 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$a_{32} = 16 - 2 \cdot - 2$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$a_{32} = 16 + 4$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $16$ e $4$ .

$a_{32} = 20$

Passaggio 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$a_{33} = 12 - 2 \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$a_{33} = 12 + 0$

Passaggio 2.9.2.2.2

Somma $12$ e $0$ .

$a_{33} = 12$

Passaggio 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 46 & 8 & - 29 \\ 14 & 34 & 28 \\ 6 & - 20 & 12 \end{array}]$

Passaggio 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 46 & 14 & 6 \\ 8 & 34 & - 20 \\ - 29 & 28 & 12 \end{array}]$