Algebra lineare Esempi

12 x - 3 y = - 6

$12 x - 3 y = - 6$ ,

2 x + 15 y = 30

$2 x + 15 y = 30$

Passaggio 1

Trova

A X = B

$A X = B$ dal sistema di equazioni.

[\begin{matrix} 12 & - 3 2 & 15 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 6 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova l'inverso della matrice del coefficiente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3

$12 \cdot 15 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica

12

$12$ per

15

$15$ .

180 - 2 \cdot - 3

$180 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 3

$- 3$ .

180 + 6

$180 + 6$

180 + 6

$180 + 6$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

180

$180$ e

6

$6$ .

186

$186$

186

$186$

186

$186$

Passaggio 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{186} [\begin{matrix} 15 & 3 - 2 & 12 \end{matrix}]

$\frac{1}{186} [\begin{array}{c} 15 & 3 \\ - 2 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica

\frac{1}{186}

$\frac{1}{186}$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{186} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Scomponi

3

$3$ da

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (62)} \cdot 15 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.1.2

Scomponi

3

$3$ da

15

$15$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.1.3

Elimina il fattore comune.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot (3 \cdot 5) & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

[\begin{matrix} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{62} \cdot 5 & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

\frac{1}{62}

$\frac{1}{62}$ e

5

$5$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{186} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{186} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.3

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Scomponi

3

$3$ da

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 (62)} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 (62)} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.3.2

Elimina il fattore comune.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot 3 \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{3 \cdot 62} \cdot 3 \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.3.3

Riscrivi l'espressione.

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{186} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Scomponi

2

$2$ da

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{2 (93)} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 (93)} \cdot - 2 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.4.2

Scomponi

2

$2$ da

- 2

$- 2$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.4.3

Elimina il fattore comune.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{2 \cdot 93} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.4.4

Riscrivi l'espressione.

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{1}{93} \cdot - 1 & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.5

\frac{1}{93}

$\frac{1}{93}$ e

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \frac{- 1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ \frac{- 1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{186} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.7

Elimina il fattore comune di

6

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.7.1

Scomponi

6

$6$ da

186

$186$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 (31)} \cdot 12 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 (31)} \cdot 12 \end{array}]$

Passaggio 2.6.7.2

Scomponi

6

$6$ da

12

$12$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Passaggio 2.6.7.3

Elimina il fattore comune.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{6 \cdot 31} \cdot (6 \cdot 2) \end{array}]$

Passaggio 2.6.7.4

Riscrivi l'espressione.

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{1}{31} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 2.6.8

\frac{1}{31}

$\frac{1}{31}$ e

2

$2$ .

[\begin{matrix} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}]$

Passaggio 3

Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 12 & - 3 \\ 2 & 15 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Passaggio 4

Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} & \frac{1}{62} \\ - \frac{1}{93} & \frac{2}{31} \end{array}] [\begin{array}{c} - 6 \\ 30 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{62} \cdot - 6 + \frac{1}{62} \cdot 30 \\ - \frac{1}{93} \cdot - 6 + \frac{2}{31} \cdot 30 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro e sinistro.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array}]$

Passaggio 7

Trova la soluzione.

$x = 0$

$y = 2$