Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $- 3$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma $- 27 e^{- 2 x}$ e $45 e^{- 2 x}$ .

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 15$ per $- 3$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma $- 36 e^{- 4 x}$ e $45 e^{- 4 x}$ .

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.2.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.3

Moltiplica $12$ per $3$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.5

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.5.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.5.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.6

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai $27 e^{- 6 x}$ da $36 e^{- 6 x}$ .

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $- 3$ .

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Somma $0$ e $9 e^{- 2 x}$ .

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Somma $- 18 e^{- 4 x}$ e $9 e^{- 4 x}$ .

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.2.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.4

Moltiplica $- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $e^{- 4 x}$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

Passaggio 2.6.2.2.2

Somma $18 e^{- 6 x}$ e $0$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $- 15$ .

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 9$ .

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Somma $0$ e $27 e^{- 2 x}$ .

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica $- 15$ per $6$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 12$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $- 90 e^{- 4 x}$ e $36 e^{- 4 x}$ .

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica $e^{- 4 x}$ per $e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.2.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2.3

Sottrai $4 x$ da $- 2 x$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $9$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.4

Moltiplica $- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 12$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.9.2.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $e^{- 4 x}$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

Passaggio 2.9.2.2.2

Somma $54 e^{- 6 x}$ e $0$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$