Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$9$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

$- 15$ per

$- 3$ .

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Somma

$- 27 e^{- 2 x}$ e

$45 e^{- 2 x}$ .

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$12$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- 15$ per

$- 3$ .

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Somma

$- 36 e^{- 4 x}$ e

$45 e^{- 4 x}$ .

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica

$e^{- 4 x}$ per

$e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.2.1

Sposta

$e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.2.3

Sottrai

$4 x$ da

$- 2 x$ .

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.3

Moltiplica

$12$ per

$3$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.5

Moltiplica

$e^{- 4 x}$ per

$e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.5.1

Sposta

$e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

Passaggio 2.3.2.2.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.5.3

Sottrai

$4 x$ da

$- 2 x$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.3.2.2.1.6

Moltiplica

$- 3$ per

$9$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai

$27 e^{- 6 x}$ da

$36 e^{- 6 x}$ .

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Moltiplica

$0$ per

$- 3$ .

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 3$ .

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Somma

$0$ e

$9 e^{- 2 x}$ .

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$6$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 3$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Somma

$- 18 e^{- 4 x}$ e

$9 e^{- 4 x}$ .

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica

$e^{- 4 x}$ per

$e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.2.1

Sposta

$e^{- 2 x}$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.2.3

Sottrai

$4 x$ da

$- 2 x$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.3

Moltiplica

$6$ per

$3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.6.2.2.1.4

Moltiplica

$- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.4.1

Moltiplica

$0$ per

$- 3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.6.2.2.1.4.2

Moltiplica

$0$ per

$e^{- 4 x}$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

Passaggio 2.6.2.2.2

Somma

$18 e^{- 6 x}$ e

$0$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica

$0$ per

$- 15$ .

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 9$ .

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Somma

$0$ e

$27 e^{- 2 x}$ .

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

Passaggio 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica

$- 15$ per

$6$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 12$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma

$- 90 e^{- 4 x}$ e

$36 e^{- 4 x}$ .

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica

$e^{- 4 x}$ per

$e^{- 2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.2.1

Sposta

$e^{- 2 x}$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.2.3

Sottrai

$4 x$ da

$- 2 x$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.3

Moltiplica

$6$ per

$9$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Passaggio 2.9.2.2.1.4

Moltiplica

$- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.4.1

Moltiplica

$0$ per

$- 12$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Passaggio 2.9.2.2.1.4.2

Moltiplica

$0$ per

$e^{- 4 x}$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

Passaggio 2.9.2.2.2

Somma

$54 e^{- 6 x}$ e

$0$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

Passaggio 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$