Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.8

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & - 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 1 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.1

Espandi $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1 (- λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $- λ \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.3.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.2.2

Somma $λ$ e $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.2

Combina i termini opposti in $1 + 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.4.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.2.2

Somma $2 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.4.2.3

Riordina $2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (0 + (- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.1.2

Somma $0$ e $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.2

Espandi $(- 1 - λ) (λ^{2} + 2 λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 (λ^{2} + 2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ (λ^{2} + 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.3.1.1

Riscrivi $- 1 λ^{2}$ come $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 1 (2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.5.3.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.3.2

Sottrai $2 λ^{2}$ da $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.4

Sposta $- 2 λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- 3 λ^{2} - λ^{3} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4.5.5

Riordina $- 3 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & - 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & - 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 \cdot 0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.2.1.1

Moltiplica $0$ per $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - (- 1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 - - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.1.4

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (0 + 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.3.2.3

Riordina $1$ e $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.1

Moltiplica $0$ per $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 (0 - 1))$

Passaggio 1.5.5.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.1

Sottrai $(- 1 - λ) (λ + 1)$ da $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (- (- 1 - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((- - 1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 - - λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.3

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + 1 λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.3.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 ((1 + λ) (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.4

Espandi $(1 + λ) (λ + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 (λ + 1) + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ (λ + 1) + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (1 λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.2.5.1.1

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 \cdot 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.5.1.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.5.1.3

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot 1 + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.5.1.4

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ + 1 + λ^{2} + λ + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.5.2

Somma $λ$ e $λ$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

Passaggio 1.5.5.5.3

Combina i termini opposti in $2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2} + 0)$

Passaggio 1.5.5.5.3.2

Somma $2 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (2 λ + λ^{2})$

Passaggio 1.5.5.5.4

Riordina $2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Combina i termini opposti in $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.1

Somma $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) + 0 - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.1.2

Somma $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.1

Espandi $(- 1 - λ) (- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 1 (- λ^{3}) - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.1

Moltiplica $- 1 (- λ^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.1.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{3} - 1 (- 3 λ^{2}) - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - λ (- λ^{3}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.5.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.5.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.5.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + 1 λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.7

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ (- 3 λ^{2}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.9

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.9.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.9.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.9.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - λ (- 2 λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.12

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.2.2.12.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.12.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 3 λ^{3} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.3

Somma $λ^{3}$ e $3 λ^{3}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 3 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} + 2 λ^{2} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.4

Somma $3 λ^{2}$ e $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} + 2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.6

Riscrivi $- 1 λ^{2}$ come $- λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (2 λ)$

Passaggio 1.5.6.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$

Passaggio 1.5.6.3

Combina i termini opposti in $4 λ^{3} + 5 λ^{2} + 2 λ + λ^{4} - λ^{2} - 2 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1

Sottrai $2 λ$ da $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2} + 0$

Passaggio 1.5.6.3.2

Somma $4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + 5 λ^{2} + λ^{4} - λ^{2}$

Passaggio 1.5.6.4

Sottrai $λ^{2}$ da $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{3} + λ^{4} + 4 λ^{2}$

Passaggio 1.5.6.5

Riordina $4 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{4} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} + 4 λ^{3} + 4 λ^{2} = 0$

Passaggio 1.7.1.1.2

Scomponi $λ^{2}$ da $4 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + 4 λ^{2} = 0$

Passaggio 1.7.1.1.3

Scomponi $λ^{2}$ da $4 λ^{2}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (4 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.5

Scomponi $λ^{2}$ da $λ^{2} (λ^{2} + 4 λ) + λ^{2} \cdot 4$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 4) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} + 4 λ + 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 λ = 2 \cdot λ \cdot 2$

Passaggio 1.7.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$λ^{2} (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = λ$ e $b = 2$ .

$λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta $λ^{2}$ uguale a $0$ .

$λ^{2} = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Risolvi $λ^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.7.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.7.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \pm 0$

Passaggio 1.7.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta ${(λ + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta ${(λ + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(λ + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Risolvi ${(λ + 2)}^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Poni $λ + 2$ uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $λ^{2} {(λ + 2)}^{2} = 0$ vera.

$λ = 0, - 2$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.10

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.11

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.12

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.13

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.14

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.15

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.16

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Simplify each element.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.5

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.6

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.10

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.11

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.12

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.13

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.14

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.15

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.16

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{4} = 0$

$x_{2} - x_{3} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{4} \\ x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.10

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.12

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.13

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.14

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.15

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.16

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 1 + 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 2 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $- 1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Somma $- 1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.14

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.16

Somma $- 1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{4} = 0$

$x_{2} + x_{3} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{4} \\ - x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$