Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0.3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $0.2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(0.8 - λ) (0.7 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.8 (0.7 - λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $0.8$ per $0.7$ .

$p (λ) = 0.56 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.8$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $0.7$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $0.7 λ$ da $- 0.8 λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- 0.2$ per $0.3$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.06$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai $0.06$ da $0.56$ .

$p (λ) = - 1.5 λ + λ^{2} + 0.5$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 1.5 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1.5 λ + 0.5$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 1.5 λ + 0.5 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1.5$ e $c = 0.5$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{1.5 \pm \sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 0.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $0.5$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Sottrai $2$ da $2.25$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.4

Riscrivi $0.25$ come ${0.5}^{2}$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2}$

Passaggio 1.7.3.3

Semplifica $\frac{1.5 \pm 0.5}{2}$ .

$λ = \frac{3 \pm 1}{4}$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 1, \frac{1}{2}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 0.8 - 1 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $1$ da $0.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $0$ da $0.3$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $0$ da $0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai $1$ da $0.7$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & - 0.3 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.3}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & - 0.3 - 0.2 \cdot - 1.5 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 1.5 y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1.5 y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- \frac{1}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per scrivere $0.8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

$0.8$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Moltiplica $0.8$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.6 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.2

Sottrai $1$ da $1.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.6}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Dividi $0.6$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $0.3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $0.2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Per scrivere $0.7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

$0.7$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2 - 1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.11.1

Moltiplica $0.7$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{1.4 - 1}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11.2

Sottrai $1$ da $1.4$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.4}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Dividi $0.4$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.3}{0.3} & \frac{0.3}{0.3} & \frac{0}{0.3} \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$