Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 + 0 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 + 0 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 + 0 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 1 - λ & 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 2 - λ & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 2 & - 2 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 2 \\ 5 & 1 - λ & 8 \\ 3 & - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 - λ & 8 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Espandi $(1 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 8)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Moltiplica $- (- 3 \cdot 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - - 24) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} + 24) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.2

Somma $2$ e $24$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 26) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riordina $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & 1 - λ \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (5 \cdot - 3 - 3 (1 - λ)))$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 (1 - λ)))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 \cdot 1 - 3 (- λ)))$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 - 3 (- λ)))$

Passaggio 5.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 15 - 3 + 3 λ))$

Passaggio 5.5.4.2.2

Sottrai $3$ da $- 15$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (- 18 + 3 λ))$

Passaggio 5.5.4.2.3

Riordina $- 18$ e $3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 0 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Somma $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26)$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26) + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1

Espandi $(3 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 26)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 3 λ) + 3 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 3 \cdot 26 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.2

Moltiplica $3$ per $26$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 26 + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.2.7

Moltiplica $26$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (3 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} + 3 λ^{2} - 26 λ + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.3

Somma $3 λ^{2}$ e $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 9 λ + 78 - λ^{3} - 26 λ + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.4

Sottrai $26 λ$ da $- 9 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 2 (3 λ - 18))$

Passaggio 5.5.5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 2 (3 λ) + 2 \cdot - 18)$

Passaggio 5.5.5.2.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 6 λ + 2 \cdot - 18)$

Passaggio 5.5.5.2.7

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 35 λ + 78 - λ^{3} + 6 λ - 36)$

Passaggio 5.5.5.3

Somma $- 35 λ$ e $6 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 29 λ + 78 - λ^{3} - 36)$

Passaggio 5.5.5.4

Sottrai $36$ da $78$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - 29 λ - λ^{3} + 42)$

Passaggio 5.5.5.5

Sposta $- 29 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 29 λ + 42)$

Passaggio 5.5.5.6

Riordina $6 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $0$ e $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$

Passaggio 5.6.2

Espandi $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 29 λ + 42)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} + 2 (- 29 λ) + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.3

Moltiplica $- 29$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 2 \cdot 42 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.4

Moltiplica $2$ per $42$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 29 λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 λ \cdot λ - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 (λ \cdot λ) - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 29 λ^{2} - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 29$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 29 λ^{2} - λ \cdot 42$

Passaggio 5.6.3.15

Moltiplica $42$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 29 λ^{2} - 42 λ$

Passaggio 5.6.4

Sottrai $6 λ^{3}$ da $- 2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 12 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} + 29 λ^{2} - 42 λ$

Passaggio 5.6.5

Somma $12 λ^{2}$ e $29 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 58 λ + 84 + λ^{4} - 42 λ$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $42 λ$ da $- 58 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84 + λ^{4}$

Passaggio 5.6.7

Sposta $84$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + λ^{4} + 84$

Passaggio 5.6.8

Sposta $- 100 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} + λ^{4} - 100 λ + 84$

Passaggio 5.6.9

Sposta $41 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + λ^{4} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$

Passaggio 5.6.10

Riordina $- 8 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{4} - 8 \cdot 2^{3} + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 8 \cdot 2^{3} + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 8 \cdot 8 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.4

Moltiplica $- 8$ per $8$ .

$16 - 64 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.5

Sottrai $64$ da $16$ .

$- 48 + 41 \cdot 2^{2} - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 48 + 41 \cdot 4 - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $41$ per $4$ .

$- 48 + 164 - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $- 48$ e $164$ .

$116 - 100 \cdot 2 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.9

Moltiplica $- 100$ per $2$ .

$116 - 200 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.10

Sottrai $200$ da $116$ .

$- 84 + 84$

Passaggio 7.1.1.3.11

Somma $- 84$ e $84$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84}{λ - 2}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ per $λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 λ^{3} + 12 λ^{2}$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $29 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $29 λ^{2} - 58 λ$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

Passaggio 7.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 42 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 42 λ + 84$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

Passaggio 7.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$8 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$100 λ$

$84$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$6 λ^{3}$

$41 λ^{2}$

$6 λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$29 λ^{2}$

$100 λ$

$29 λ^{2}$

$58 λ$

$42 λ$

$84$

$42 λ$

$84$

$0$

Passaggio 7.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $λ^{4} - 8 λ^{3} + 41 λ^{2} - 100 λ + 84$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) (λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Passaggio 7.1.2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 29 \cdot 2 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 29 \cdot 2 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 29 \cdot 2 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$8 - 24 + 29 \cdot 2 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.5

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 29 \cdot 2 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.6

Moltiplica $29$ per $2$ .

$- 16 + 58 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.7

Somma $- 16$ e $58$ .

$42 - 42$

Passaggio 7.1.2.1.3.8

Sottrai $42$ da $42$ .

$0$

Passaggio 7.1.2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42}{λ - 2}$

Passaggio 7.1.2.1.5

Dividi $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ per $λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$29 λ$

$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Passaggio 7.1.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$

Passaggio 7.1.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$

Passaggio 7.1.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Passaggio 7.1.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 λ^{2} + 8 λ$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Passaggio 7.1.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$

Passaggio 7.1.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $21 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							+	$21 λ$	-	$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $21 λ - 42$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							-	$21 λ$	+	$42$

Passaggio 7.1.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$21$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$29 λ$	-	$42$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$29 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$21 λ$	-	$42$
							-	$21 λ$	+	$42$
										$0$

Passaggio 7.1.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{2} - 4 λ + 21$

Passaggio 7.1.2.1.6

Scrivi $λ^{3} - 6 λ^{2} + 29 λ - 42$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

Passaggio 7.1.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Eleva $λ - 2$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $λ - 2$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

Passaggio 7.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(λ - 2)}^{1 + 1} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

Passaggio 7.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

${(λ - 2)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta ${(λ - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta ${(λ - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi ${(λ - 2)}^{2} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Poni $λ - 2$ uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 2$

Passaggio 7.4

Imposta $λ^{2} - 4 λ + 21$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $λ^{2} - 4 λ + 21$ uguale a $0$ .

$λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $λ^{2} - 4 λ + 21 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 21$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 21)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $21$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.3

Sottrai $84$ da $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 68$ come $- 1 (68)$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (68)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.7

Riscrivi $68$ come $2^{2} \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $68$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$λ = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{17})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 7.4.2.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{17}}{2}$ .

$λ = 2 \pm i \sqrt{17}$

Passaggio 7.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 2 + i \sqrt{17}, 2 - i \sqrt{17}$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(λ - 2)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 21) = 0$ vera.

$λ = 2, 2 + i \sqrt{17}, 2 - i \sqrt{17}$