Algebra lineare Esempi

Trovare gli Autovalori [[-5,0,0,0],[0,-5,5,5],[5,0,-2,-2],[-5,0,2,2]]
Passaggio 1
Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica .
Passaggio 2
La matrice identità o matrice unità della dimensione è la matrice quadrata con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.
Passaggio 3
Sostituisci i valori noti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Sostituisci per .
Passaggio 3.2
Sostituisci per .
Passaggio 4
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Moltiplica per ogni elemento della matrice.
Passaggio 4.1.2
Semplifica ogni elemento nella matrice.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.2
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.3.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.3.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.4
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.5
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.7
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.7.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.7.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.8
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.8.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.9
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.10
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.10.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.11
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.12
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.12.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.12.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.13
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.13.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.13.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.14
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.14.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.14.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.15
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.15.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.15.2
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.2.16
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
Aggiungi gli elementi corrispondenti.
Passaggio 4.3
Simplify each element.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.3.1
Somma e .
Passaggio 4.3.2
Somma e .
Passaggio 4.3.3
Somma e .
Passaggio 4.3.4
Somma e .
Passaggio 4.3.5
Somma e .
Passaggio 4.3.6
Somma e .
Passaggio 4.3.7
Somma e .
Passaggio 4.3.8
Somma e .
Passaggio 4.3.9
Somma e .
Passaggio 4.3.10
Somma e .
Passaggio 4.3.11
Somma e .
Passaggio 4.3.12
Somma e .
Passaggio 5
Find the determinant.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Passaggio 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Passaggio 5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.1.11
Add the terms together.
Passaggio 5.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.5
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Passaggio 5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Passaggio 5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Passaggio 5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Passaggio 5.5.1.9
Add the terms together.
Passaggio 5.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.1
È possibile trovare il determinante di una matrice usando la formula .
Passaggio 5.5.4.2
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1.1
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1.1.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.5.4.2.1.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.5.4.2.1.1.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.5.4.2.1.2
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.4
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.1
Sposta .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.7
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.2
Sottrai da .
Passaggio 5.5.4.2.1.2.3
Somma e .
Passaggio 5.5.4.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.4.2.2
Combina i termini opposti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.4.2.2.1
Somma e .
Passaggio 5.5.4.2.2.2
Somma e .
Passaggio 5.5.5
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.5.1
Combina i termini opposti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.5.1.1
Somma e .
Passaggio 5.5.5.1.2
Somma e .
Passaggio 5.5.5.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.5.5.3
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.5.3.1
Sposta .
Passaggio 5.5.5.3.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.5.3.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.5.3.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.5.5.3.3
Somma e .
Passaggio 5.5.5.4
Riordina e .
Passaggio 5.6
Semplifica il determinante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.1
Combina i termini opposti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.1.1
Somma e .
Passaggio 5.6.1.2
Somma e .
Passaggio 5.6.1.3
Somma e .
Passaggio 5.6.2
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.2.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.6.2.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.6.2.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 5.6.3
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.1.3
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 5.6.3.1.4
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1.4.1
Sposta .
Passaggio 5.6.3.1.4.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1.4.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.6.3.1.4.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.6.3.1.4.3
Somma e .
Passaggio 5.6.3.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.1.7
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 5.6.3.1.8
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1.8.1
Sposta .
Passaggio 5.6.3.1.8.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.6.3.1.8.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.6.3.1.8.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.6.3.1.8.3
Somma e .
Passaggio 5.6.3.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3.2
Somma e .
Passaggio 5.6.4
Sposta .
Passaggio 5.6.5
Riordina e .
Passaggio 6
Imposta il polinomio caratteristico pari a per trovare gli autovalori .
Passaggio 7
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Scomponi il primo membro dell'equazione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.1.1
Scomponi da .
Passaggio 7.1.1.2
Scomponi da .
Passaggio 7.1.1.3
Scomponi da .
Passaggio 7.1.1.4
Scomponi da .
Passaggio 7.1.1.5
Scomponi da .
Passaggio 7.1.2
Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 7.1.2.2
Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.
Passaggio 7.1.2.3
Riscrivi il polinomio.
Passaggio 7.1.2.4
Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato , dove e .
Passaggio 7.2
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 7.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 7.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 7.3.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.3.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 7.3.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 7.3.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 7.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 7.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.4.2.1
Poni uguale a .
Passaggio 7.4.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 7.5
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.