Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & - 4 \\ 12 & - 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 + 0 & - 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $12$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & - 4 \\ 12 & - 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(9 - λ) (- 5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 9 (- 5 - λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ (- 5 - λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 9 \cdot - 5 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$p (λ) = - 45 + 9 (- λ) - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ - λ \cdot - 5 - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - λ (- λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = - 45 - 9 λ + 5 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.2.2

Somma $- 9 λ$ e $5 λ$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} - 12 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 4$ .

$p (λ) = - 45 - 4 λ + λ^{2} + 48$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 45$ e $48$ .

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 3$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- 4 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 3$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $λ^{2} - 4 λ + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(λ - 3) (λ - 1) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $λ - 3$ uguale a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 3$

Passaggio 7.4

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.4.1

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 3) (λ - 1) = 0$ vera.

$λ = 3, 1$