Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.5 + 0 \\ 0.5 + 0 & 0.5 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $0.5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.5 \\ 0.5 + 0 & 0.5 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0.5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.5 - λ & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.5 - λ) (0.5 - λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(0.5 - λ) (0.5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.5 (0.5 - λ) - λ (0.5 - λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.5 \cdot 0.5 + 0.5 (- λ) - λ (0.5 - λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.5 \cdot 0.5 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.5 - λ (- λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica $0.5$ per $0.5$ .

$p (λ) = 0.25 + 0.5 (- λ) - λ \cdot 0.5 - λ (- λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0.5$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - λ \cdot 0.5 - λ (- λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica $0.5$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ - λ (- λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ + 1 λ^{2} - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0.25 - 0.5 λ - 0.5 λ + λ^{2} - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai $0.5 λ$ da $- 0.5 λ$ .

$p (λ) = 0.25 - 1 λ + λ^{2} - 0.5 \cdot 0.5$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 0.5$ per $0.5$ .

$p (λ) = 0.25 - 1 λ + λ^{2} - 0.25$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $0.25 - 1 λ + λ^{2} - 0.25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $0.25$ da $0.25$ .

$p (λ) = - 1 λ + λ^{2} + 0$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 1 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = - 1 λ + λ^{2}$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- 1 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1 λ$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 1 λ = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $λ$ da $λ^{2} - 1 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $λ$ da $λ^{2}$ .

$λ \cdot λ - 1 λ = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $λ$ da $- 1 λ$ .

$λ \cdot λ + λ \cdot - 1 = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $λ$ da $λ \cdot λ + λ \cdot - 1$ .

$λ (λ - 1) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 7.4

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.4.1

Imposta $λ - 1$ uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $λ (λ - 1) = 0$ vera.

$λ = 0, 1$