Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c + 0 \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $1 - c$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0.6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 & c - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.4 - λ) (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(0.4 - λ) (c - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.4 (c - λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0.4$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.3.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2.3.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 \cdot 1 - 0.6 (- c)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 0.6$ per $1$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 - 0.6 (- c)$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 0.6$ .

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 + 0.6 c$

Passaggio 5.2.2

Somma $0.4 c$ e $0.6 c$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6$

Passaggio 5.2.3

Sposta $λ$ .

$p (λ) = c - 0.4 λ - 1 c λ + λ^{2} - 0.6$

Passaggio 5.2.4

Sposta $- 0.4 λ$ .

$p (λ) = c - 1 c λ + λ^{2} - 0.4 λ - 0.6$

Passaggio 5.2.5

Sposta $c$ .

$p (λ) = - 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $- 1 c$ come $- c$ .

$- c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

Passaggio 7.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - c - 0.4$ e $c = c - 0.6$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{- (- c - 0.4) \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (c - 0.6))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- - c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$λ = \frac{1 c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $c$ per $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi ${(- c - 0.4)}^{2}$ come $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{(- c - 0.4) (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Espandi $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c - 0.4) - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c \cdot c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.2

Moltiplica $c$ per $c$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.6.1.2.1

Sposta $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (c \cdot c)) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.2.2

Moltiplica $c$ per $c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c^{2}) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{1 c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.4

Moltiplica $c^{2}$ per $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.5

Moltiplica $- 0.4$ per $- 1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.1.7

Moltiplica $- 0.4$ per $- 0.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.6.2

Somma $0.4 c$ e $0.4 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c - 4 \cdot - 0.6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.9

Moltiplica $- 4$ per $- 0.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.10

Sottrai $4 c$ da $0.8 c$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 0.16 + 2.4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.11

Somma $0.16$ e $2.4$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 2.56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.12

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.12.1

Riscrivi $2.56$ come ${1.6}^{2}$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.12.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$3.2 c = 2 \cdot c \cdot 1.6$

Passaggio 7.4.1.12.3

Riscrivi il polinomio.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 2 \cdot c \cdot 1.6 + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.12.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = c$ e $b = 1.6$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(c - 1.6)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.13

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2}$

Passaggio 7.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$