Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione

2

$2$ è la matrice quadrata

2 \times 2

$2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

A

$A$ per

[\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci

I_{2}

$I_{2}$ per

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica

- λ

$- λ$ per ogni elemento della matrice.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica

0

$0$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica

0

$0$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 + 0 2 + 0 & - 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma

3

$3$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 2 + 0 & - 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 2 & - 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 2 & - 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 1 - λ & 3 2 & - 1 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Espandi

(1 - λ) (- 1 - λ)

$(1 - λ) (- 1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica

- λ

$- λ$ per

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica

- λ \cdot - 1

$- λ \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.3.2

Moltiplica

λ

$λ$ per

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica

λ

$λ$ per

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica

λ^{2}

$λ^{2}$ per

1

$1$ .

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.2

Somma

- λ

$- λ$ e

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.2.3

Somma

- 1

$- 1$ e

0

$0$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

3

$3$ .

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai

6

$6$ da

- 1

$- 1$ .

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

p (λ) = λ^{2} - 7

$p (λ) = λ^{2} - 7$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a

0

$0$ per trovare gli autovalori

λ

$λ$ .

λ^{2} - 7 = 0

$λ^{2} - 7 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per

λ

$λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma

7

$7$ a entrambi i lati dell'equazione.

λ^{2} = 7

$λ^{2} = 7$

Passaggio 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{7}

$λ = \pm \sqrt{7}$

Passaggio 7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

λ = \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}$

Passaggio 7.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

λ = - \sqrt{7}

$λ = - \sqrt{7}$

Passaggio 7.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimale:

λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$