Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $- 4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $- 11$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 2 (- 4 (2 - λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 2 (- 4 \cdot 2 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 11 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 11$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - - 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 22$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ + 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.3.2.2

Somma $- 8$ e $22$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Espandi $(1 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $6$ da $2$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Somma $- 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ e $0$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Passaggio 1.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 2 (4 λ) - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Passaggio 1.5.5.2.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 8 λ - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Passaggio 1.5.5.2.3

Moltiplica $- 2$ per $14$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Passaggio 1.5.5.2.4

Espandi $(- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} - 7 (- 3 λ) - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 7$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.2

Moltiplica $- 7$ per $- 4$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.5.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.5.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.5.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Passaggio 1.5.5.2.5.7

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

Passaggio 1.5.5.2.6

Somma $- 7 λ^{2}$ e $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 4 λ$

Passaggio 1.5.5.2.7

Somma $21 λ$ e $4 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.3

Combina i termini opposti in $- 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Somma $- 28$ e $28$ .

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ + 0 - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.3.2

Somma $- 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ$ e $0$ .

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.4

Somma $- 8 λ$ e $25 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 17 λ - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.5

Sposta $17 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} + 17 λ$

Passaggio 1.5.5.6

Riordina $- 4 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi $- λ$ da $- 4 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) + 17 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.3

Scomponi $- λ$ da $17 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

Passaggio 1.7.1.4

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2}) - λ (4 λ)$ .

$- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

Passaggio 1.7.1.5

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ (- 17)$ .

$- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ^{2} + 4 λ - 17$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ^{2} + 4 λ - 17$ uguale a $0$ .

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Risolvi $λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 17$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 17$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.3

Somma $16$ e $68$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.4

Riscrivi $84$ come $2^{2} \cdot 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Passaggio 1.7.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$λ = - 2 \pm \sqrt{21}$

Passaggio 1.7.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$ vera.

$λ = 0, - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.5

Somma $- 7$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.7

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.8

Somma $- 11$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.9

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 7 & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 7 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \cdot - 4 & 2 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 \cdot - 4 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 14 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 14 z = 0$

$y - 4 z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 14 z \\ 4 z \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.2

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.3

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.4

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.5

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.6

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.7

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.8

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4.9

Moltiplica $2 - \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Somma $1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma $- 7$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $- 11$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $2$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{21}}{3 - \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 - \sqrt{21}} & \frac{2}{3 - \sqrt{21}} & \frac{0}{3 - \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - \sqrt{21} - 2 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 4 - \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 - \sqrt{21} - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} - (- 14 - \sqrt{21}) (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- - \sqrt{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + 1 \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.3.2

Moltiplica $\sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.2

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.3

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.4

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.5

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.6

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.7

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.8

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.5.9

Moltiplica $2 + \sqrt{21}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Somma $1$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $- 4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Somma $- 7$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Somma $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Somma $- 11$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Somma $2$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} \end{array}]$

Passaggio 5.3

Find the null space when $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

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Passaggio 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{21}}{3 + \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 + \sqrt{21}} & \frac{2}{3 + \sqrt{21}} & \frac{0}{3 + \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 + \sqrt{21} - 2 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 4 + \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 + \sqrt{21} - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} - (- 14 + \sqrt{21}) (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$