Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.8

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.9

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.10

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.10

Multiply element $a_{43}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 5 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 1 & 5 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 & 1 \\ 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

Passaggio 1.5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |) + 0$

Passaggio 1.5.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.1

Espandi $(2 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.2

Somma $4 - 4 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.3

Sposta $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.4.2.4

Riordina $- 4 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.1

Combina i termini opposti in $0 + (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.1.1

Somma $0$ e $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.1.2

Somma $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.2

Espandi $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.3.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.3.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (2 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.4

Somma $2 λ^{2}$ e $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 8 λ + 8 - λ^{3} - 4 λ) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.5

Sottrai $4 λ$ da $- 8 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ + 8 - λ^{3}) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.6

Sposta $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 8) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.7

Sposta $- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (6 λ^{2} - λ^{3} - 12 λ + 8) + 0$

Passaggio 1.5.5.5.8

Riordina $6 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Passaggio 1.5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Passaggio 1.5.6.1.2

Somma $0$ e $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8) + 0$

Passaggio 1.5.6.1.3

Somma $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

Passaggio 1.5.6.2

Espandi $(3 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (6 λ^{2}) + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (6 λ^{2}) + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.3

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 3 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.3.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

Passaggio 1.5.6.3.15

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Passaggio 1.5.6.4

Sottrai $6 λ^{3}$ da $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 18 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

Passaggio 1.5.6.5

Somma $18 λ^{2}$ e $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 36 λ + 24 + λ^{4} - 8 λ$

Passaggio 1.5.6.6

Sottrai $8 λ$ da $- 36 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24 + λ^{4}$

Passaggio 1.5.6.7

Sposta $24$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + λ^{4} + 24$

Passaggio 1.5.6.8

Sposta $- 44 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} + λ^{4} - 44 λ + 24$

Passaggio 1.5.6.9

Sposta $30 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + λ^{4} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$

Passaggio 1.5.6.10

Riordina $- 9 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Passaggio 1.7.1.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{4} - 9 \cdot 2^{3} + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 9 \cdot 2^{3} + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$16 - 9 \cdot 8 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.4

Moltiplica $- 9$ per $8$ .

$16 - 72 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.5

Sottrai $72$ da $16$ .

$- 56 + 30 \cdot 2^{2} - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 56 + 30 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.7

Moltiplica $30$ per $4$ .

$- 56 + 120 - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.8

Somma $- 56$ e $120$ .

$64 - 44 \cdot 2 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.9

Moltiplica $- 44$ per $2$ .

$64 - 88 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.10

Sottrai $88$ da $64$ .

$- 24 + 24$

Passaggio 1.7.1.1.3.11

Somma $- 24$ e $24$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24}{λ - 2}$

Passaggio 1.7.1.1.5

Dividi $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ per $λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 1.7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Passaggio 1.7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

Passaggio 1.7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 λ^{3} + 14 λ^{2}$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 λ^{2} - 32 λ$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 λ + 24$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

Passaggio 1.7.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$9 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$44 λ$

$24$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$30 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$16 λ^{2}$

$44 λ$

$16 λ^{2}$

$32 λ$

$12 λ$

$24$

$12 λ$

$24$

$0$

Passaggio 1.7.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$

Passaggio 1.7.1.1.6

Scrivi $λ^{4} - 9 λ^{3} + 30 λ^{2} - 44 λ + 24$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) (λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 1.7.1.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 7 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 7 \cdot 4 + 16 \cdot 2 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.4

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$8 - 28 + 16 \cdot 2 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.5

Sottrai $28$ da $8$ .

$- 20 + 16 \cdot 2 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.6

Moltiplica $16$ per $2$ .

$- 20 + 32 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.7

Somma $- 20$ e $32$ .

$12 - 12$

Passaggio 1.7.1.2.3.8

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12}{λ - 2}$

Passaggio 1.7.1.2.5

Dividi $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ per $λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$16 λ$

$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$10 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 λ^{2} + 10 λ$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$

Passaggio 1.7.1.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							+	$6 λ$	-	$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 λ - 12$

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							-	$6 λ$	+	$12$

Passaggio 1.7.1.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$5 λ$	+	$6$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$16 λ$	-	$12$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$5 λ^{2}$	+	$16 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$10 λ$
							+	$6 λ$	-	$12$
							-	$6 λ$	+	$12$
										$0$

Passaggio 1.7.1.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$λ^{2} - 5 λ + 6$

Passaggio 1.7.1.2.6

Scrivi $λ^{3} - 7 λ^{2} + 16 λ - 12$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 5 λ + 6)) = 0$

Passaggio 1.7.1.3

Scomponi $λ^{2} - 5 λ + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.3.1

Scomponi $λ^{2} - 5 λ + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 1.7.1.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(λ - 2) ((λ - 2) ((λ - 3) (λ - 2))) = 0$

Passaggio 1.7.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 3) (λ - 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.4.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.4.1.1

Eleva $λ - 2$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 2) (λ - 3)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.2

Eleva $λ - 2$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ - 2) (λ - 3)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(λ - 2) ({(λ - 2)}^{1 + 1} (λ - 3)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 2)}^{2} (λ - 3)) = 0$

Passaggio 1.7.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 2) {(λ - 2)}^{2} (λ - 3) = 0$

Passaggio 1.7.1.5

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.5.1

Eleva $λ - 2$ alla potenza di $1$ .

$(λ - 2) {(λ - 2)}^{2} (λ - 3) = 0$

Passaggio 1.7.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(λ - 2)}^{1 + 2} (λ - 3) = 0$

Passaggio 1.7.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

${(λ - 2)}^{3} (λ - 3) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

$λ - 3 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta ${(λ - 2)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta ${(λ - 2)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(λ - 2)}^{3} = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Risolvi ${(λ - 2)}^{3} = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.2.1

Poni $λ - 2$ uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Passaggio 1.7.3.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 2$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ - 3$ uguale a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 3$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(λ - 2)}^{3} (λ - 3) = 0$ vera.

$λ = 2, 3$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.12

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.13

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.14

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.15

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.16

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 2 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Sottrai $2$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.10

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.11

Sottrai $2$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.12

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.14

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.15

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.16

Sottrai $2$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & 1 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} + \frac{1}{5} x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{x_{3}}{5} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.10

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.11

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.12

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.13

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.14

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.15

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.16

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 2 - 3 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $3$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Sottrai $3$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 + 0 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 + 0 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Somma $5$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 3 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Sottrai $3$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.14

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - 3 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.16

Sottrai $3$ da $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - 0 & 0 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.6

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 0 & - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.7.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$