Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ - 1 & 3 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(5 - λ) (3 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$p (λ) = 15 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $3 λ$ da $- 5 λ$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} - - 2$

Passaggio 1.5.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} + 2$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $15$ e $2$ .

$p (λ) = - 8 λ + λ^{2} + 17$

Passaggio 1.5.2.3

Riordina $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 17$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 8 λ + 17 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = 17$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $17$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.3

Sottrai $68$ da $64$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$λ = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$λ = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 1.7.3.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 i}{2}$ .

$λ = 4 \pm i$

Passaggio 1.7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 4 + i, 4 - i$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 + i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - (4 + i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 4 - i$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 4 - i) \cdot 1 & (- 4 - i) \cdot 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $- 4 - i$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & (- 4 - i) \cdot 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $- 4 - i$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.4.3

Moltiplica $- 4 - i$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.4.4

Moltiplica $- 4 - i$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ 0 & - 4 - i \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 - i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Sottrai $4$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 & - 1 - i \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 4 + i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - i}{1 - i} & \frac{2}{1 - i} & \frac{0}{1 - i} \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - i + 1 + i & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 - i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - (4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 4 - - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 - - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 + 1 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $i$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 + i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 4 + i$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 4 + i) \cdot 1 & (- 4 + i) \cdot 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica $- 4 + i$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & (- 4 + i) \cdot 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.6.2

Moltiplica $- 4 + i$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.6.3

Moltiplica $- 4 + i$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.6.4

Moltiplica $- 4 + i$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ 0 & - 4 + i \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 + i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Sottrai $4$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 & - 1 + i \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 4 - i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + i}{1 + i} & \frac{2}{1 + i} & \frac{0}{1 + i} \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + i + 1 - i & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$