Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 9 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 8 \\ 9 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 9 - λ & 0 \\ 0 & 9 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) ((9 - λ) (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Espandi $(9 - λ) (9 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (8 - λ) (9 (9 - λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ (9 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (8 - λ) (9 \cdot 9 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 + 9 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 9 λ - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Sottrai $9 λ$ da $- 9 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $81 - 18 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (81 - 18 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.3

Sposta $81$ .

$p (λ) = (8 - λ) (- 18 λ + λ^{2} + 81) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.4.2.4

Riordina $- 18 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Combina i termini opposti in $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Somma $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ e $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81) + 0$

Passaggio 1.5.5.1.2

Somma $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ e $0$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$

Passaggio 1.5.5.2

Espandi $(8 - λ) (λ^{2} - 18 λ + 81)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 18 λ) + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Moltiplica $- 18$ per $8$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 8 \cdot 81 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.2

Moltiplica $8$ per $81$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{2 + 1} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ \cdot λ - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 (λ \cdot λ) - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 1 \cdot - 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - λ \cdot 81$

Passaggio 1.5.5.3.7

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} + 18 λ^{2} - 81 λ$

Passaggio 1.5.5.4

Somma $8 λ^{2}$ e $18 λ^{2}$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 144 λ + 648 - λ^{3} - 81 λ$

Passaggio 1.5.5.5

Sottrai $81 λ$ da $- 144 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ + 648 - λ^{3}$

Passaggio 1.5.5.6

Sposta $648$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - 225 λ - λ^{3} + 648$

Passaggio 1.5.5.7

Sposta $- 225 λ$ .

$p (λ) = 26 λ^{2} - λ^{3} - 225 λ + 648$

Passaggio 1.5.5.8

Riordina $26 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 648, \pm 2, \pm 324, \pm 3, \pm 216, \pm 4, \pm 162, \pm 6, \pm 108, \pm 8, \pm 81, \pm 9, \pm 72, \pm 12, \pm 54, \pm 18, \pm 36, \pm 24, \pm 27$

Passaggio 1.7.1.1.3

Sostituisci $8$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $8$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.3.1

Sostituisci $8$ nel polinomio.

$- 8^{3} + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $512$ .

$- 512 + 26 \cdot 8^{2} - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- 512 + 26 \cdot 64 - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.5

Moltiplica $26$ per $64$ .

$- 512 + 1664 - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.6

Somma $- 512$ e $1664$ .

$1152 - 225 \cdot 8 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.7

Moltiplica $- 225$ per $8$ .

$1152 - 1800 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.8

Sottrai $1800$ da $1152$ .

$- 648 + 648$

Passaggio 1.7.1.1.3.9

Somma $- 648$ e $648$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Poiché $8$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 8$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648}{λ - 8}$

Passaggio 1.7.1.1.5

Dividi $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ per $λ - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$26 λ^{2}$

$225 λ$

$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} + 8 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					+	$18 λ^{2}$	-	$144 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 λ^{2} - 144 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$

Passaggio 1.7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 81 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							-	$81 λ$	+	$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 81 λ + 648$

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$

Passaggio 1.7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$18 λ$	-	$81$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$26 λ^{2}$	-	$225 λ$	+	$648$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$18 λ^{2}$	-	$225 λ$
					-	$18 λ^{2}$	+	$144 λ$
							-	$81 λ$	+	$648$
							+	$81 λ$	-	$648$
										$0$

Passaggio 1.7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} + 18 λ - 81$

Passaggio 1.7.1.1.6

Scrivi $- λ^{3} + 26 λ^{2} - 225 λ + 648$ come insieme di fattori.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 λ - 81) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ e la cui somma è $b = 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1.1

Scomponi $18$ da $18 λ$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + 18 (λ) - 81) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.1.2

Riscrivi $18$ come $9$ più $9$ .

$(λ - 8) (- λ^{2} + (9 + 9) λ - 81) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(λ - 8) (- λ^{2} + 9 λ + 9 λ - 81) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(λ - 8) ((- λ^{2} + 9 λ) + 9 λ - 81) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(λ - 8) (λ (- λ + 9) - 9 (- λ + 9)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- λ + 9$ .

$(λ - 8) ((- λ + 9) (λ - 9)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 8 = 0$

$- λ + 9 = 0$

$λ - 9 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta $λ - 8$ uguale a $0$ .

$λ - 8 = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 8$

Passaggio 1.7.4

Imposta $- λ + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $- λ + 9$ uguale a $0$ .

$- λ + 9 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Risolvi $- λ + 9 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- λ = - 9$

Passaggio 1.7.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- λ = - 9$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.2.2

Dividi $λ$ per $1$ .

$λ = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.7.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$λ = 9$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 8) (- λ + 9) (λ - 9) = 0$ vera.

$λ = 8, 9$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 8$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 8 - 8 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $8$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 8 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Sottrai $8$ da $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 8 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Sottrai $8$ da $9$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 9$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] - 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 9$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 1 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & - 9 \cdot 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & - 9 \cdot 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 9 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 0 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 8 - 9 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.2.3.1

Sottrai $9$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $8$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 + 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 9 - 9 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Sottrai $9$ da $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 - 9 \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Sottrai $9$ da $9$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = 9$ .

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Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 8 & - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 8 z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 z \\ y \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}] + y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y, z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$