Algebra lineare Esempi

\sqrt{5} + i \sqrt{5}

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$ e

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova

| z |

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ come

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ come

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.1.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Passaggio 4.3

Somma

$5$ e

$5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di

$θ = \frac{π}{4}$ e

$| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$