Algebra lineare Esempi

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{2}{3}$ e $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Passaggio 4.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Passaggio 4.10

Somma $1$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $\sqrt{\frac{5}{9}}$ come $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 4.12

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.12.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.12.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ produce un angolo nel quarto quadrante, il valore dell'angolo è $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di $θ = - 0.4636476$ e $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$