Algebra lineare Esempi

$(8 - 7 i) (6 + 7 i)$

Passaggio 1

Espandi $(8 - 7 i) (6 + 7 i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Passaggio 2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica $8$ per $6$ .

$48 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $7$ per $8$ .

$48 + 56 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 7 i (7 i)$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 7 i (7 i)$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $7$ per $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i i$

Passaggio 2.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i)$

Passaggio 2.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{2}$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $- 49$ per $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i + 49$

Passaggio 2.2

Somma $48$ e $49$ .

$97 + 56 i - 42 i$

Passaggio 2.3

Sottrai $42 i$ da $56 i$ .

$97 + 14 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = 97$ e $b = 14$ .

$| z | = \sqrt{14^{2} + 97^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

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Passaggio 6.1

Eleva $14$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 97^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $97$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 9409}$

Passaggio 6.3

Somma $196$ e $9409$ .

$| z | = \sqrt{9605}$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{14}{97})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{14}{97}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $0.14334005$ .

$θ = 0.14334005$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = 0.14334005$ e $| z | = \sqrt{9605}$ .

$\sqrt{9605} (\cos (0.14334005) + i \sin (0.14334005))$