Algebra lineare Esempi

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(4 - 3 i)}^{2}$ come $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Passaggio 2

Espandi $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 3 i (- 3 i)$ .

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Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Passaggio 3.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Passaggio 3.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Passaggio 3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Passaggio 3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Passaggio 3.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Passaggio 3.2

Sottrai $9$ da $16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Passaggio 3.3

Sottrai $12 i$ da $- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Passaggio 5

Moltiplica $7$ per $- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Passaggio 6

Moltiplica $- 5 i (- 24 i)$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 24$ per $- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Passaggio 6.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Passaggio 6.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Passaggio 6.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica $120$ per $- 1$ .

$- 35 i - 120$

Passaggio 8

Riordina $- 35 i$ e $- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Passaggio 9

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 10

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 11

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 120$ e $b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Passaggio 12

Trova $| z |$ .

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Passaggio 12.1

Eleva $- 35$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Eleva $- 120$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Passaggio 12.3

Somma $1225$ e $14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Passaggio 12.4

Riscrivi $15625$ come $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Passaggio 12.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 125$

Passaggio 13

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Passaggio 14

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 35}{- 120}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Passaggio 15

Sostituisci i valori di $θ = 3.42538676$ e $| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$