Algebra lineare Esempi

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ come

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Passaggio 2

Espandi

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica

4

$4$ per

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica

4

$4$ per

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Passaggio 3.1.4.2

Eleva

i

$i$ alla potenza di

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Passaggio 3.1.4.3

Eleva

i

$i$ alla potenza di

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Passaggio 3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Passaggio 3.1.4.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Passaggio 3.1.5

Riscrivi

$i^{2}$ come

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica

$9$ per

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Passaggio 3.2

Sottrai

$9$ da

$16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Passaggio 3.3

Sottrai

$12 i$ da

$- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Passaggio 5

Moltiplica

$7$ per

$- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Passaggio 6

Moltiplica

$- 5 i (- 24 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

$- 24$ per

$- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Passaggio 6.2

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Passaggio 6.3

Eleva

$i$ alla potenza di

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Passaggio 6.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi

$i^{2}$ come

$- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica

$120$ per

$- 1$ .

$- 35 i - 120$

Passaggio 8

Riordina

$- 35 i$ e

$- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Passaggio 9

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

$| z |$ è il modulo e

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 10

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

$z = a + b i$

Passaggio 11

Sostituisci i valori effettivi di

$a = - 120$ e

$b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Passaggio 12

Trova

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Eleva

$- 35$ alla potenza di

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Passaggio 12.2

Eleva

$- 120$ alla potenza di

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Passaggio 12.3

Somma

$1225$ e

$14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Passaggio 12.4

Riscrivi

$15625$ come

$125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Passaggio 12.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 125$

Passaggio 13

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Passaggio 14

Poiché l'inverso della tangente di

$\frac{- 35}{- 120}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è

$3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Passaggio 15

Sostituisci i valori di

$θ = 3.42538676$ e

$| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$