Algebra lineare Esempi

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ e

b = 1

$b = 1$ .

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Trova

| z |

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva

- 4

$- 4$ alla potenza di

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica

16

$16$ per

3

$3$ .

| z | = \sqrt{1 + 48}

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

Passaggio 4.3.2

Somma

1

$1$ e

48

$48$ .

| z | = \sqrt{49}

$| z | = \sqrt{49}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi

49

$49$ come

7^{2}

$7^{2}$ .

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

| z | = \sqrt{7^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

Passaggio 4.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

| z | = 7

$| z | = 7$

| z | = 7

$| z | = 7$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

θ = arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di

\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è

2.99824508

$2.99824508$ .

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di

θ = 2.99824508

$θ = 2.99824508$ e

| z | = 7

$| z | = 7$ .

7 (cos (2.99824508) + i sin (2.99824508))

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$