Algebra lineare Esempi

$15 [\begin{array}{c} 3 & - 6 & 5 \\ 2 & - 1 & 0 \\ - 4 & 7 & 4 \end{array}] - 5 x = 30 [\begin{array}{c} - 1 & - 2 & 1 \\ 5 & 5 & - 4 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da $ℝ^{3}$ a $ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

M: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Passaggio 6

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Poiché le proprietà additive della trasformazione non vengono rispettate, non si tratta di una trasformazione lineare.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$