Algebra lineare Esempi

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da

ℝ^{2}

$ℝ^{2}$ a

ℝ^{2}

$ℝ^{2}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

$ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

M (x + y) = M (x) + M (y)

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per

M

$M$ .

M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Passaggio 6

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]$

Passaggio 7

Poiché le proprietà additive della trasformazione non vengono rispettate, non si tratta di una trasformazione lineare.

M (x + y) \neq M (x) + M (y)

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$