Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 9 & - 36 & 30 \\ - 36 & 192 & - 180 \\ 30 & - 180 & 180 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}]$

Step 1

Il nucleo di una trasformazione è un vettore che rende la trasformazione uguale al vettore zero (la pre-immagine della trasformazione).

$[\begin{array}{c} 15 \\ - 48 \\ 30 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema di equazioni a partire dall'equazione del vettore.

$15 = 0$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 3

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0 = - 15$

$- 48 = 0$

$30 = 0$

Step 4

Somma $48$ a entrambi i lati dell'equazione.

$0 = 48$

$0 = - 15$

$30 = 0$

Step 5

Sottrai $30$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0 = - 30$

$0 = - 15$

$0 = 48$

Step 6

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} - 15 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Step 7

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Esegui le due operazioni in riga $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ su $R_{1}$ (riga $1$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{1}$ (riga $1$ ) con l'operazione in riga $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{15} R_{1} \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Sostituisci $R_{1}$ (riga $1$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{15}) \cdot (- 15) \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{15} R_{1}$

Semplifica $R_{1}$ (riga $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 48 \\ - 30 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ su $R_{2}$ (riga $2$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{2}$ (riga $2$ ) con l'operazione in riga $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 48 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Sostituisci $R_{2}$ (riga $2$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 48) \cdot (1) + 48 \\ - 30 \end{array}]$

$R_{2} = - 48 \cdot R_{1} + R_{2}$

Semplifica $R_{2}$ (riga $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 30 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ su $R_{3}$ (riga $3$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{3}$ (riga $3$ ) con l'operazione in riga $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 30 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Sostituisci $R_{3}$ (riga $3$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (30) \cdot (1) - 30 \end{array}]$

$R_{3} = 30 \cdot R_{1} + R_{3}$

Semplifica $R_{3}$ (riga $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 8

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$0 = 1$

Step 9

Questa espressione è l'insieme di soluzioni per il sistema di equazioni.

${}$

Step 10

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 11

Lo spazio nullo dell'insieme è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 12

Il nucleo di $M$ è il sottospazio ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$