Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

Il nucleo di una trasformazione è un vettore che rende la trasformazione uguale al vettore zero (la pre-immagine della trasformazione).

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema di equazioni a partire dall'equazione del vettore.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Somma $43$ a entrambi i lati dell'equazione.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Esegui le due operazioni in riga $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ su $R_{1}$ (riga $1$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{1}$ (riga $1$ ) con l'operazione in riga $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Sostituisci $R_{1}$ (riga $1$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Semplifica $R_{1}$ (riga $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ su $R_{2}$ (riga $2$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{2}$ (riga $2$ ) con l'operazione in riga $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Sostituisci $R_{2}$ (riga $2$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Semplifica $R_{2}$ (riga $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ su $R_{3}$ (riga $3$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{3}$ (riga $3$ ) con l'operazione in riga $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Sostituisci $R_{3}$ (riga $3$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Semplifica $R_{3}$ (riga $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ su $R_{4}$ (riga $4$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $R_{4}$ (riga $4$ ) con l'operazione in riga $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Sostituisci $R_{4}$ (riga $4$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Semplifica $R_{4}$ (riga $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$0 = 1$

Step 10

Questa espressione è l'insieme di soluzioni per il sistema di equazioni.

${}$

Step 11

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

Lo spazio nullo dell'insieme è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

Il nucleo di $M$ è il sottospazio ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$