Algebra lineare Esempi

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 7$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $3 x + 21$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

Passaggio 3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $3$ da $21$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (7)$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Passaggio 3.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Passaggio 3.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x + 7}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x + 7}$ come ${(x + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 7$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

Passaggio 3.7

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $7$ da $0$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3.5

$- 2$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$