Algebra lineare Esempi

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da $ℝ^{3}$ a $ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Passaggio 6

Riordina $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Passaggio 7

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 8

Poiché le proprietà additive della trasformazione non vengono rispettate, non si tratta di una trasformazione lineare.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$