Algebra lineare Esempi

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $6 - i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{6}{6 + i}$ per $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Passaggio 3

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{6}{6 + 1 i}$ per il coniugato di $6 + 1 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Passaggio 4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Espandi $(6 + 1 i) (6 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Passaggio 4.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Passaggio 4.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 4.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Passaggio 4.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Passaggio 4.3.2.9

Somma $- 6 i$ e $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Passaggio 4.3.2.10

Somma $36$ e $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Passaggio 4.3.4

Somma $36$ e $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Passaggio 5

Dividi la frazione $\frac{36 - 6 i}{37}$ in due frazioni.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Passaggio 7

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 8

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 9

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{36}{37}$ e $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.2.4

Eleva $37$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Passaggio 10.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Passaggio 10.2.6

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Passaggio 10.2.7

Eleva $37$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Passaggio 10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Passaggio 10.2.9

Somma $36$ e $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $1332$ e $1369$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $37$ da $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Passaggio 10.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Scomponi $37$ da $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Passaggio 10.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Passaggio 10.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{36}{37}}$ come $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 10.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 10.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Passaggio 10.6

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Passaggio 10.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Moltiplica $\frac{6}{\sqrt{37}}$ per $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Passaggio 10.7.2

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Passaggio 10.7.3

Eleva $\sqrt{37}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Passaggio 10.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Passaggio 10.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Passaggio 10.7.6

Riscrivi ${\sqrt{37}}^{2}$ come $37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{37}$ come $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 10.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 10.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 10.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Passaggio 10.7.6.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Passaggio 11

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Passaggio 12

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ produce un angolo nel quarto quadrante, il valore dell'angolo è $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Passaggio 13

Sostituisci i valori di $θ = - 0.16514867$ e $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$