Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] - 3 \cdot [\begin{array}{c} 8 & 7 & 11 \\ 3 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $- 3$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 8 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $- 3$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $11$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 34 - 24 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $24$ da $34$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Sottrai $21$ da $23$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Sottrai $33$ da $49$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Sottrai $9$ da $15$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Sottrai $18$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Sottrai $9$ da $24$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Sottrai $15$ da $19$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Sottrai $3$ da $20$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.9

Sottrai $24$ da $25$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 10 + 2 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $10$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Somma $2$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Somma $16$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.4

Somma $6$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.5

Sottrai $1$ da $- 15$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.6

Somma $15$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.7

Somma $4$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.8

Somma $17$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 1 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.9

Somma $1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 2 \end{array}]$

Passaggio 6

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 6.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 6.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Passaggio 6.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Passaggio 6.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Passaggio 6.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Passaggio 6.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 6.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 6.9

Add the terms together.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 7

Calcola $| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 (- 16 \cdot 2 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 7.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$12 (- 32 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 19$ per $17$ .

$12 (- 32 - 323) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $323$ da $- 32$ .

$12 \cdot - 355 - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 8

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (7 \cdot 2 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 8.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $17$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 85) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $85$ da $14$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Passaggio 9

Calcola $| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (7 \cdot 19 - 5 \cdot - 16)$

Passaggio 9.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $7$ per $19$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 - 5 \cdot - 16)$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 16$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 + 80)$

Passaggio 9.2.2

Somma $133$ e $80$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Passaggio 10

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $12$ per $- 355$ .

$- 4260 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 71$ .

$- 4260 + 213 + 19 \cdot 213$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $19$ per $213$ .

$- 4260 + 213 + 4047$

Passaggio 10.2

Somma $- 4260$ e $213$ .

$- 4047 + 4047$

Passaggio 10.3

Somma $- 4047$ e $4047$ .

$0$