Algebra lineare Esempi

4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in

\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$ in modo che sia maggiore o uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0

$2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

{(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt[3]{3 x}

$\sqrt[3]{3 x}$ come

{(3 x)}^{\frac{1}{3}}

${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a

3 x

$3 x$ .

{(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica

x

$x$ per

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Sposta

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Moltiplica

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.2.1

Eleva

x

$x$ alla potenza di

1

$1$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Somma

1

$1$ e

3

$3$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Applica la regola del prodotto a

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Eleva

2

$2$ alla potenza di

3

$3$ .

8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in

{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(3^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.6.2

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.7

Calcola l'esponente.

8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.8

Moltiplica

8

$8$ per

3

$3$ .

24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.9

Moltiplica gli esponenti in

{(x^{\frac{4}{3}})}^{3}

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.9.2

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.9.2.1

Elimina il fattore comune.

24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.9.2.2

Riscrivi l'espressione.

24 x^{4} \geq 0^{3}

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

24 x^{4} \geq 0^{3}

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

24 x^{4} \geq 0^{3}

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

24 x^{4} \geq 0^{3}

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

24 x^{4} \geq 0^{3}

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

24 x^{4} \geq 0

$24 x^{4} \geq 0$

24 x^{4} \geq 0

$24 x^{4} \geq 0$

24 x^{4} \geq 0

$24 x^{4} \geq 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per

24

$24$ ciascun termine in

24 x^{4} \geq 0

$24 x^{4} \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per

24

$24$ ciascun termine in

24 x^{4} \geq 0

$24 x^{4} \geq 0$ .

\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di

24

$24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi

x^{4}

$x^{4}$ per

1

$1$ .

x^{4} \geq \frac{0}{24}

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

x^{4} \geq \frac{0}{24}

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

x^{4} \geq \frac{0}{24}

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi

0

$0$ per

24

$24$ .

x^{4} \geq 0

$x^{4} \geq 0$

x^{4} \geq 0

$x^{4} \geq 0$

x^{4} \geq 0

$x^{4} \geq 0$

Passaggio 2.3.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4