Algebra lineare Esempi

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 2.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 4$

$x = 2$

Passaggio 2.6

Consolida le soluzioni.

$x = 4, 2$

Passaggio 2.7

Trova il dominio di $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 - x}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.7.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 2$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 4$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Passaggio 4.2.2

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica $e^{0} (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Rimuovi le parentesi.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Passaggio 4.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$4 - x = x - 2$

Passaggio 4.2.4

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 - x - x = - 2$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Passaggio 4.2.5

Scomponi $2$ da $4 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) - 2 x = - 2$

Passaggio 4.2.5.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Passaggio 4.2.5.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (- x)$ .

$2 (2 - x) = - 2$

Passaggio 4.2.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 - x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 - x) = - 2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 4.2.6.2.1.2

Dividi $2 - x$ per $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 4.2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$2 - x = - 1$

Passaggio 4.2.7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1 - 2$

Passaggio 4.2.7.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- x = - 3$

Passaggio 4.2.8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.2.8.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.2.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta l'argomento in $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 4.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.3.2.5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 4$

$x = 2$

Passaggio 4.3.2.6

Consolida le soluzioni.

$x = 4, 2$

Passaggio 4.3.2.7

Trova il dominio di $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.7.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 - x}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.3.2.7.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4.3.2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 4.3.2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.3.2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Passaggio 4.3.2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 2$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.3.2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 4.3.2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Passaggio 4.3.2.9.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.3.2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.3.2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Passaggio 4.3.2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.3.2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 4.3.2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 4$

Passaggio 4.3.3

Imposta il denominatore in $\frac{4 - x}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.3.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(2, 4)$

Passaggio 4.4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 4.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.5.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Passaggio 4.5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 4.5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.5.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 4.5.2.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Passaggio 4.5.2.3

Il lato sinistro di $1.09861228$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.5.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3.5$

Passaggio 4.5.3.2

Sostituisci $x$ con $3.5$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Passaggio 4.5.3.3

Il lato sinistro di $- 1.09861228$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.5.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.5.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Passaggio 4.5.4.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 4.5.4.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.5.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Vero

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

Passaggio 4.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x \leq 3$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{4 - x}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(2, 3]$

Notazione intensiva:

${x | 2 < x \leq 3}$

Passaggio 8