Algebra lineare Esempi

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 11$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.3

Sottrai $12$ da $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Sottrai $12$ da $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

Passaggio 2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

Passaggio 2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $12$ da $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.6.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

Passaggio 2.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

Passaggio 2.6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.7

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 13$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 13$ nella diseguaglianza originale.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $29$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Vero

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falso

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Vero

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Vero

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falso

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ o $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

Passaggio 4