Algebra lineare Esempi

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ${(- x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica ${(x^{2})}^{2}$ per $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x > x^{4}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $x^{4}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x - x^{4} > 0$

Passaggio 2.4.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x - x^{4} = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $x$ da $x - x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Passaggio 2.4.3.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Passaggio 2.4.3.1.3

Scomponi $x$ da $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4.6

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 2.4.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 2.4.7

Imposta $1 + x + x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Imposta $1 + x + x^{2}$ uguale a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.7.2

Risolvi $1 + x + x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5

Trova il dominio di $x^{2} + \sqrt{x}$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 2.6

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 2.7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 2.7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Passaggio 2.7.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 2.7.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Passaggio 2.7.2.3

Il lato sinistro di $0.95710678$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.7.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.7.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Passaggio 2.7.3.3

Il lato sinistro di $18$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

Passaggio 2.8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 1$ o $x > 1$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{e^{x}}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Passaggio 6