Algebra lineare Esempi

{| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Rimuovi il valore assoluto in

${| p + q |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Passaggio 1.2

Rimuovi il valore assoluto in

${| p - q |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Rimuovi il valore assoluto in

${| p |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Passaggio 2.2

Rimuovi il valore assoluto in

${| q |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti

$p$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai

$2 p^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi

${(p + q)}^{2}$ come

$(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.2

Espandi

$(p + q) (p + q)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica

$p$ per

$p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica

$q$ per

$q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Somma

$p q$ e

$q p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Riordina

$q$ e

$p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Somma

$p q$ e

$p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi

${(p - q)}^{2}$ come

$(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.5

Espandi

$(p - q) (p - q)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.1

Moltiplica

$p$ per

$p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.4

Moltiplica

$q$ per

$q$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1.4.1

Sposta

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.4.2

Moltiplica

$q$ per

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.1.6

Moltiplica

$q^{2}$ per

$1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai

$q p$ da

$- p q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Sposta

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Sottrai

$p q$ da

$- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.3

Combina i termini opposti in

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai

$2 p q$ da

$2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.3.2

Somma

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ e

$0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.4

Somma

$p^{2}$ e

$p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.5

Combina i termini opposti in

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai

$2 p^{2}$ da

$2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Passaggio 3.5.2

Somma

$q^{2} + q^{2}$ e

$0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 3.6

Somma

$q^{2}$ e

$q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Passaggio 4

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi

$q^{2}$ per

$1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi

$q^{2}$ per

$1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Passaggio 5

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| q | = | q |$

Passaggio 6

Risolvi per

$q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Passaggio 6.2

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$q = q$

$q = - q$

Passaggio 6.3

Risolvi

$q = q$ per

$q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti

$q$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Sottrai

$q$ da entrambi i lati dell'equazione.

$q - q = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Sottrai

$q$ da

$q$ .

$0 = 0$

Passaggio 6.3.2

Poiché

$0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Sempre vero

Passaggio 6.4

Risolvi

$q = - q$ per

$q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta tutti i termini contenenti

$q$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Somma

$q$ a entrambi i lati dell'equazione.

$q + q = 0$

Passaggio 6.4.1.2

Somma

$q$ e

$q$ .

$2 q = 0$

Passaggio 6.4.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 q = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 q = 0$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Dividi

$q$ per

$1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Dividi

$0$ per

$2$ .

$q = 0$

Passaggio 6.5

Elenca tutte le soluzioni.

$q = 0$

Passaggio 7

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 8