Algebra lineare Esempi

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Passaggio 1

Sottrai ${(- 5 - k)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 2.5

Calcola l'esponente.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica $2$ per $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${(- 5 - k)}^{2}$ come $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Passaggio 5.2

Espandi $(- 5 - k) (- 5 - k)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.1

Sposta $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Passaggio 5.3.1.5.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Passaggio 5.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Passaggio 5.3.1.7

Moltiplica $k^{2}$ per $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Somma $5 k$ e $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Passaggio 5.6

Sottrai $25$ da $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $h$ per $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ come $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Passaggio 6.4

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Passaggio 6.5

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Passaggio 6.6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.6.2.2

Dividi $h$ per $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.6.3.1.2

Dividi $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ per $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 6.6.3.1.3

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Passaggio 6.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Passaggio 8.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8.3

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = - 10$ e $c = - 11$ nella formula quadratica e risolvi per $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.3

Sottrai $44$ da $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.4

Riscrivi $56$ come $2^{2} \cdot 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Passaggio 8.4.3

Semplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Passaggio 8.4.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.4.5

Riscrivi $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ come $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.3

Sottrai $44$ da $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.4

Riscrivi $56$ come $2^{2} \cdot 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Passaggio 8.5.3

Semplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Passaggio 8.5.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.5.5

Riscrivi $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ come $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.5.6

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Passaggio 8.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Passaggio 8.5.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Passaggio 8.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.3

Sottrai $44$ da $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.4

Riscrivi $56$ come $2^{2} \cdot 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 8.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Passaggio 8.6.3

Semplifica $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Passaggio 8.6.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.6.5

Riscrivi $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ come $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Passaggio 8.6.6

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Passaggio 8.6.7

Applica la proprietà distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 8.6.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 8.6.9

Moltiplica $- - \sqrt{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Passaggio 8.6.9.2

Moltiplica $\sqrt{14}$ per $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 8.7

Consolida le soluzioni.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 8.8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 8.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Testa un valore sull'intervallo $k < - 5 - \sqrt{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $k < - 5 - \sqrt{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = - 11$

Passaggio 8.9.1.2

Sostituisci $k$ con $- 11$ nella diseguaglianza originale.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Passaggio 8.9.1.3

Il lato sinistro di $- 22$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = - 5$

Passaggio 8.9.2.2

Sostituisci $k$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Passaggio 8.9.2.3

Il lato sinistro di $14$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.9.3

Testa un valore sull'intervallo $k > - 5 + \sqrt{14}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $k > - 5 + \sqrt{14}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$k = 0$

Passaggio 8.9.3.2

Sostituisci $k$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Passaggio 8.9.3.3

Il lato sinistro di $- 11$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Vero

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Vero

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

Passaggio 8.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $k$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Notazione intensiva:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Passaggio 10