Algebra lineare Esempi

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{169}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $25$ per $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $25 (- \frac{x^{2}}{169})$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

Passaggio 3.2.1.3.2

$- 25$ e $\frac{x^{2}}{169}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ .

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Passaggio 5.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{25 x^{2}}{169}$ come ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = \frac{5 x}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.4

$5$ e $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.6

Scomponi $5$ da $5 \cdot 13 + 5 x$ .

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $5$ da $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $5$ da $5 (13) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.7

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.8

$5$ e $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Passaggio 5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

Passaggio 5.10

Scomponi $5$ da $5 \cdot 13 - 5 x$ .

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Passaggio 5.10.1

Scomponi $5$ da $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

Passaggio 5.10.2

Scomponi $5$ da $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

Passaggio 5.10.3

Scomponi $5$ da $5 (13) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

Passaggio 5.11

Moltiplica $\frac{5 (13 + x)}{13}$ per $\frac{5 (13 - x)}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

Passaggio 5.12

Moltiplica.

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Passaggio 5.12.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

Passaggio 5.12.2

Moltiplica $13$ per $13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

Passaggio 5.13

Riscrivi $\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ come ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ .

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Passaggio 5.13.1

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25 (13 + x) (13 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

Passaggio 5.13.2

Scomponi la potenza perfetta $13^{2}$ su $169$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.13.3

Riordina la frazione $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

Passaggio 5.14

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

Passaggio 5.15

$\frac{5}{13}$ e $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $13 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta $13 + x$ uguale a $0$ .

$13 + x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 13$

Passaggio 8.3

Imposta $13 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta $13 - x$ uguale a $0$ .

$13 - x = 0$

Passaggio 8.3.2

Risolvi $13 - x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 8.3.2.1

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 13$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 13$ e semplifica.

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Passaggio 8.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 13$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.2.2.3.1

Dividi $- 13$ per $- 1$ .

$x = 13$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 13, 13$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 16$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 16$ nella diseguaglianza originale.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 87$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 13 < x < 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 13 < x < 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $169$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 16$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $16$ nella diseguaglianza originale.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 87$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 13 \leq x \leq 13$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 13, 13]$

Notazione intensiva:

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

Passaggio 10