Algebra lineare Esempi

y = 3 x + 2

$y = 3 x + 2$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$

Passaggio 1

Sottrai

3 x

$3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

y - 3 x = 2, x - 4 y = 9

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Passaggio 2

Per determinare l'intersezione di una linea passante per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e perpendicolare al piano

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ e al piano

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano

P_{1}

$P_{1}$ e del piano

P_{2}

$P_{2}$ , dove i vettori normali sono

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano

P_{2}

$P_{2}$ in modo tale che

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per

t

$t$ .

4. Utilizzando il valore di

t

$t$ , risolvi le equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ per

t

$t$ per trovare l'intersezione

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Passaggio 3

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

P_{1}

$P_{1}$ è

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ . Calcola il vettore normale

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione piana della forma

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Passaggio 3.2

P_{2}

$P_{2}$ è

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ . Calcola il vettore normale

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione piana della forma

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Passaggio 3.3

Calcola il prodotto scalare di

n_{1}

$n_{1}$ e

n_{2}

$n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nei vettori normali.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Rimuovi le parentesi.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

1

$1$ .

- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica

- 4

$- 4$ per

1

$1$ .

- 3 - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica

0

$0$ per

0

$0$ .

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

Passaggio 3.4.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sottrai

4

$4$ da

- 3

$- 3$ .

- 7 + 0

$- 7 + 0$

Passaggio 3.4.3.2

Somma

- 7

$- 7$ e

0

$0$ .

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

Passaggio 4

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ e

z = r + c t

$z = r + c t$ usando l'origine

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ per il punto

(p, q, r)

$(p, q, r)$ e i valori del vettore normale

- 7

$- 7$ per i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a

P_{1}

$P_{1}$

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ .

x = 0 + - 3 \cdot t

$x = 0 + - 3 \cdot t$

y = 0 + 1 \cdot t

$y = 0 + 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 5

Sostituisci l'espressione per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ nell'equazione per

P_{2}

$P_{2}$

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ .

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per

t

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Combina i termini opposti in

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sottrai

3 \cdot t

$3 \cdot t$ da

0

$0$ .

- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6.1.1.2

Somma

0

$0$ e

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica

t

$t$ per

1

$1$ .

- 3 t - 4 t = 9

$- 3 t - 4 t = 9$

Passaggio 6.1.3

Sottrai

4 t

$4 t$ da

- 3 t

$- 3 t$ .

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

Passaggio 6.2

Dividi per

- 7

$- 7$ ciascun termine in

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per

- 7

$- 7$ ciascun termine in

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ .

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di

- 7

$- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi

t

$t$ per

1

$1$ .

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

t = \frac{9}{- 7}

$t = \frac{9}{- 7}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

t = - \frac{9}{7}

$t = - \frac{9}{7}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione parametrica per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ usando il valore di

t

$t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Risolvi l'equazione per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Rimuovi le parentesi.

x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.1.2

Rimuovi le parentesi.

x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.1.3

Semplifica

0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica

- 3 (- \frac{9}{7})

$- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 3

$- 3$ .

x = 0 + 3 (\frac{9}{7})

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Passaggio 7.1.3.1.2

3

$3$ e

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ .

x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Passaggio 7.1.3.1.3

Moltiplica

3

$3$ per

9

$9$ .

x = 0 + \frac{27}{7}

$x = 0 + \frac{27}{7}$

x = 0 + \frac{27}{7}

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Passaggio 7.1.3.2

Somma

0

$0$ e

\frac{27}{7}

$\frac{27}{7}$ .

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Rimuovi le parentesi.

y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi.

y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.2.3

Semplifica

0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica

- \frac{9}{7}

$- \frac{9}{7}$ per

1

$1$ .

y = 0 - \frac{9}{7}

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Passaggio 7.2.3.2

Sottrai

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ da

0

$0$ .

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione per

z

$z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Rimuovi le parentesi.

z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Passaggio 7.3.2

Rimuovi le parentesi.

z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Passaggio 7.3.3

Semplifica

0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica

0 (- \frac{9}{7})

$0 (- \frac{9}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

z = 0 + 0 (\frac{9}{7})

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Passaggio 7.3.3.1.2

Moltiplica

0

$0$ per

\frac{9}{7}

$\frac{9}{7}$ .

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

z = 0 + 0

$z = 0 + 0$

Passaggio 7.3.3.2

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

z = 0

$z = 0$

Passaggio 7.4

Le equazioni parametriche risolte per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ .

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

z = 0

$z = 0$

x = \frac{27}{7}

$x = \frac{27}{7}$

y = - \frac{9}{7}

$y = - \frac{9}{7}$

z = 0

$z = 0$

Passaggio 8

Utilizzando i valori calcolati per

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ , il punto di intersezione risulta essere

(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$