Algebra lineare Esempi

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Passaggio 1

Sottrai $16 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Dividi $144$ per $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

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Passaggio 4.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $\frac{16 x^{2}}{9}$ come ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.4

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.6

Scomponi $4$ da $4 \cdot 3 + 4 x$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.6.2

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi $4$ da $4 (3) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.7

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.8

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $4$ da $4 \cdot 3 - 4 x$ .

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Passaggio 4.10.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Passaggio 4.10.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Passaggio 4.10.3

Scomponi $4$ da $4 (3) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $\frac{4 (3 + x)}{3}$ per $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.12

Moltiplica.

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Passaggio 4.12.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 4.12.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ come ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Passaggio 4.13.1

Scomponi la potenza perfetta ${(2^{2})}^{2}$ su $16 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Passaggio 4.13.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 4.13.3

Riordina la frazione $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Passaggio 4.14

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Passaggio 4.15

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Passaggio 4.16

$\frac{4}{3}$ e $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Passaggio 6

Imposta il radicando in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Passaggio 7.2

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7.3

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 7.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 7.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 7.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 7.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 7.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 7.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 7.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 7.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Passaggio 7.6.1.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Passaggio 7.6.2.3

Il lato sinistro di $9$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 7.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Passaggio 7.6.3.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 7.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 3$

Passaggio 8

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 3]$

Notazione intensiva:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Passaggio 9