Algebra lineare Esempi

$\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a + b + c, a - b$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $a + b + c$ è $a + b + c$ stesso.

$(a + b + c) = a + b + c$

$(a + b + c)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $a - b$ è $a - b$ stesso.

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $a + b + c, a - b$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(a + b + c) (a - b)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(a + b + c) (a - b)$ ciascun termine in $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ per $(a + b + c) (a - b)$ .

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $a + b + c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(a - b) (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2.2

Eleva $a - b$ alla potenza di $1$ .

${(a - b)}^{1} (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2.3

Eleva $a - b$ alla potenza di $1$ .

${(a - b)}^{1} {(a - b)}^{1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(a - b)}^{1 + 1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $a - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $a - b$ da $(a + b + c) (a - b)$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

${(a - b)}^{2} = (a - 2 b + c) (a + b + c)$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(a - 2 b + c) (a + b + c)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

${(a - b)}^{2} = a \cdot a + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Sposta $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 (b \cdot b) - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $c$ per $c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $2 b a$ da $a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sposta $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b - 2 a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Sottrai $2 a b$ da $a b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Passaggio 2.3.5

Somma $a c$ e $c a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Riordina $c$ e $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + a c + a c + c b + c^{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Somma $a c$ e $a c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + 2 a c + c b + c^{2}$

Passaggio 2.3.6

Somma $- 2 b c$ e $c b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Riordina $c$ e $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + b c + 2 a c + c^{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Somma $- 2 b c$ e $b c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $a$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = {(a - b)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica ${(a - b)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = 0 + 0 + {(a - b)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi ${(a - b)}^{2}$ come $(a - b) (a - b)$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = (a - b) (a - b)$

Passaggio 3.2.3

Espandi $(a - b) (a - b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a (a - b) - b (a - b)$

Passaggio 3.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b (a - b)$

Passaggio 3.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)$

Passaggio 3.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)$

Passaggio 3.2.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - b (- b)$

Passaggio 3.2.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b$

Passaggio 3.2.4.1.4

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.4.1

Sposta $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)$

Passaggio 3.2.4.1.4.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}$

Passaggio 3.2.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}$

Passaggio 3.2.4.1.6

Moltiplica $b^{2}$ per $1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + b^{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $b a$ da $- a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Sposta $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Sottrai $a b$ da $- a b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $a^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} = - 2 a b + b^{2}$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 a b$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b = b^{2}$

Passaggio 3.3.3

Combina i termini opposti in $a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $a^{2}$ da $a^{2}$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 0 + 2 a b = b^{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$ e $0$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b = b^{2}$

Passaggio 3.3.4

Somma $- a b$ e $2 a b$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 1 a b = b^{2}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $a$ per $1$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2}$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $a$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $2 b^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2}$

Passaggio 3.4.2

Somma $b c$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $c^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 a c + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c - c^{2}$

Passaggio 3.4.4

Somma $b^{2}$ e $2 b^{2}$ .

$2 a c + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Passaggio 3.5

Scomponi $a$ da $2 a c + a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $a$ da $2 a c$ .

$a (2 c) + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $a$ da $a b$ .

$a (2 c) + a (b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $a$ da $a (2 c) + a (b)$ .

$a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Passaggio 3.6

Dividi per $2 c + b$ ciascun termine in $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $2 c + b$ ciascun termine in $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ .

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2 c + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 3.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{3 b^{2} + b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 3.6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 c + b = 0$

Passaggio 5

Sottrai $2 c$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - 2 c$

Passaggio 6

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${b | b \in ℝ}$