Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

$7$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Passaggio 2.2.1.2.2

$- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 - 16}{3}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $16$ da $7$ .

$\frac{- 9}{3}$

Passaggio 2.2.4

Dividi $- 9$ per $3$ .

$- 3$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{3}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

$8$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

$- 7$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$