Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} 7 & 8 \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

7

$7$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

- \frac{2}{3} \cdot 8

$- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica

8

$8$ per

- 1

$- 1$ .

\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Passaggio 2.2.1.2.2

- 8

$- 8$ e

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

2

$2$ .

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{7 - 16}{3}

$\frac{7 - 16}{3}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai

16

$16$ da

7

$7$ .

\frac{- 9}{3}

$\frac{- 9}{3}$

Passaggio 2.2.4

Dividi

- 9

$- 9$ per

3

$3$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 3} [\begin{matrix} \frac{1}{3} & - 8 - \frac{2}{3} & 7 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

- \frac{1}{3} [\begin{matrix} \frac{1}{3} & - 8 - \frac{2}{3} & 7 \end{matrix}]

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per ogni elemento della matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica

- \frac{1}{3} \cdot - 8

$- \frac{1}{3} \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

8

$8$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica

- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ per

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica

3

$3$ per

3

$3$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica

- \frac{1}{3} \cdot 7

$- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica

7

$7$ per

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

- 7

$- 7$ e

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

[\begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$