Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 6 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$16 - 24$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$- 8$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 6 & 2 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{8}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 7.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{8} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.2.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.3

$\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 3) & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.5.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 3 & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.6

$\frac{- 1}{4}$ e $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{- - 3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.7

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{8} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.8.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.8.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 7.8.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Passaggio 7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \end{array}]$