Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 5 x & - 4 y \\ 6 x & - 5 y \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 x (- 5 y) - 6 x (- 4 y)$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 \cdot - 5 x y - 6 x (- 4 y)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$- 25 x y - 6 x (- 4 y)$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 25 x y - 6 \cdot - 4 x y$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$- 25 x y + 24 x y$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 25 x y$ e $24 x y$ .

$- x y$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{x y}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 7.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $y$ da $- 5 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x} \cdot - 5 & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.2

$\frac{- 1}{x}$ e $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 7.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.4.3

Scomponi $y$ da $4 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.4.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.4.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x} \cdot 4 \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.5

$\frac{- 1}{x}$ e $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1 \cdot 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.8.2

Scomponi $x$ da $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.8.3

Scomponi $x$ da $- 6 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.8.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.8.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{y} \cdot - 6 & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.9

$\frac{- 1}{y}$ e $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- - 6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.10

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.11.2

Scomponi $x$ da $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (5 x) \end{array}]$

Passaggio 7.11.3

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot 5) \end{array}]$

Passaggio 7.11.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (x \cdot 5) \end{array}]$

Passaggio 7.11.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{y} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.12

$\frac{- 1}{y}$ e $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1 \cdot 5}{y} \end{array}]$

Passaggio 7.13

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 5}{y} \end{array}]$

Passaggio 7.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{5}{y} \end{array}]$