Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$x$ e $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

Passaggio 4.2.2

$x$ e $\frac{1}{6}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- - \frac{x}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $\frac{x}{6}$ per $1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.3

$x$ e $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{x}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{36}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.6.2

Moltiplica $6$ per $36$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

Passaggio 5.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Moltiplica $\frac{1}{36}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $36$ per $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.9.1

Moltiplica $\frac{x}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

Passaggio 5.1.9.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

Passaggio 5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Passaggio 5.3

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Passaggio 5.4

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

Passaggio 5.5

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

Passaggio 5.6.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

Passaggio 5.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.2.1

Scomponi $2$ da $216$ .

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Passaggio 5.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

Passaggio 5.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

Passaggio 5.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$