Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} x + 1 & 1 & 1 \\ 1 & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(x + 1) ((x - 1) x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x \cdot x - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 1) (x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - (x - 1))$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - (x - 1))$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x - - 1)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x + 1)$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Espandi $(x + 1) (x^{2} - x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.7

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.3

Combina i termini opposti in $x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} - x + 0 - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.3.2

Somma $x^{3} - x$ e $0$ .

$x^{3} - x - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 + 1 (- x + 2)$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- x + 2$ per $1$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$x^{3} - 2 x - x + 0 - x + 2$

Passaggio 5.2.2

Somma $x^{3} - 2 x - x$ e $0$ .

$x^{3} - 2 x - x - x + 2$

Passaggio 5.3

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x^{3} - 3 x - x + 2$

Passaggio 5.4

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$x^{3} - 4 x + 2$