Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{14} & \frac{9}{112} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 (\frac{9}{112}) - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $0$ per $\frac{9}{112}$ .

$0 - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{14}$ .

$0 - \frac{1}{8 \cdot 14}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $8$ per $14$ .

$0 - \frac{1}{112}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $\frac{1}{112}$ da $0$ .

$- \frac{1}{112}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \cdot 112) [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $- (1 \cdot 112)$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $112$ per $1$ .

$- 1 \cdot 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $112$ .

$- 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Passaggio 8

Moltiplica $- 112$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 112 (\frac{9}{112}) & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $112$ .

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Passaggio 9.1.1

Scomponi $112$ da $- 112$ .

$[\begin{array}{c} 112 (- 1) \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} 112 \cdot - 1 \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (\frac{- 1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $8$ da $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 (- 14) \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 \cdot - 14 \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 14 \cdot - 1 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 14$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $14$ .

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Passaggio 9.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{14}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (\frac{- 1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $14$ da $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 (- 8) \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.5.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 \cdot - 8 \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.5.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 8 \cdot - 1 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.6

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 9.7

Moltiplica $- 112$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & 0 \end{array}]$