Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} \sqrt{5} & 2 \sqrt{6} & - 1 \\ - 2 \sqrt{5} & \sqrt{6} & 2 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Find the determinant.

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Passaggio 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 \sqrt{6} | \begin{array}{c} - 2 \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$\sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 2 \sqrt{5} & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 2 \sqrt{5} & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.9

Add the terms together.

$- 2 \sqrt{6} | \begin{array}{c} - 2 \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 2 \sqrt{5} & 2 \end{array} |$

Passaggio 1.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 2 \sqrt{5} & 2 \end{array} |$ .

$- 2 \sqrt{6} | \begin{array}{c} - 2 \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 \sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 1.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 2 \sqrt{5} \cdot 5 - \sqrt{5} \cdot 2) + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 10 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 2) + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 10 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}) + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $2 \sqrt{5}$ da $- 10 \sqrt{5}$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} | \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.4

Calcola $| \begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ \sqrt{5} & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} (\sqrt{5} \cdot 5 - \sqrt{5} \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.2.1.1

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{5}$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} (5 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2

Moltiplica $- \sqrt{5} \cdot - 1$ .

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Passaggio 1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} (5 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2.2

Moltiplica $\sqrt{5}$ per $1$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} (5 \sqrt{5} + \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $5 \sqrt{5}$ e $\sqrt{5}$ .

$- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5}) + \sqrt{6} (6 \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $- 2 \sqrt{6} (- 12 \sqrt{5})$ .

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Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$24 \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} (6 \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.5.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$24 \sqrt{5 \cdot 6} + \sqrt{6} (6 \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.5.1.1.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$24 \sqrt{30} + \sqrt{6} (6 \sqrt{5}) + 0$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $\sqrt{6} (6 \sqrt{5})$ .

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Passaggio 1.5.1.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$24 \sqrt{30} + 6 \sqrt{6 \cdot 5} + 0$

Passaggio 1.5.1.2.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$24 \sqrt{30} + 6 \sqrt{30} + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $24 \sqrt{30}$ e $6 \sqrt{30}$ .

$30 \sqrt{30} + 0$

Passaggio 1.5.3

Somma $30 \sqrt{30}$ e $0$ .

$30 \sqrt{30}$

Passaggio 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} \sqrt{5} & 2 \sqrt{6} & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 \sqrt{5} & \sqrt{6} & 2 & 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{\sqrt{5}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{\sqrt{5}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} & \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5}} & \frac{- 1}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{0}{\sqrt{5}} & \frac{0}{\sqrt{5}} \\ - 2 \sqrt{5} & \sqrt{6} & 2 & 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ - 2 \sqrt{5} & \sqrt{6} & 2 & 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 \sqrt{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 \sqrt{5} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ - 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 1 & \sqrt{6} + 2 \sqrt{5} \frac{2 \sqrt{30}}{5} & 2 + 2 \sqrt{5} (- \frac{\sqrt{5}}{5}) & 0 + 2 \sqrt{5} \frac{\sqrt{5}}{5} & 1 + 2 \sqrt{5} \cdot 0 & 0 + 2 \sqrt{5} \cdot 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 5 \sqrt{6} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \sqrt{5} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \sqrt{5} R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 5 \sqrt{6} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 & 0 - \sqrt{5} \frac{2 \sqrt{30}}{5} & 5 - \sqrt{5} (- \frac{\sqrt{5}}{5}) & 0 - \sqrt{5} \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 - \sqrt{5} \cdot 0 & 1 - \sqrt{5} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 5 \sqrt{6} & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 \sqrt{6} & 6 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5 \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5 \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ \frac{0}{5 \sqrt{6}} & \frac{5 \sqrt{6}}{5 \sqrt{6}} & \frac{0}{5 \sqrt{6}} & \frac{2}{5 \sqrt{6}} & \frac{1}{5 \sqrt{6}} & \frac{0}{5 \sqrt{6}} \\ 0 & - 2 \sqrt{6} & 6 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & - 2 \sqrt{6} & 6 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 \sqrt{6} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 \sqrt{6} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 + 2 \sqrt{6} \cdot 0 & - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} \cdot 1 & 6 + 2 \sqrt{6} \cdot 0 & - 1 + 2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6}}{15} & 0 + 2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6}}{30} & 1 + 2 \sqrt{6} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 6 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- \frac{1}{5}}{6} & \frac{\frac{2}{5}}{6} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & - \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{\sqrt{5}}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{\sqrt{5}}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0 & - \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1 & \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{1}{30}) & 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{15} & 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} & 0 & \frac{29 \sqrt{5}}{150} & \frac{\sqrt{5}}{75} & \frac{\sqrt{5}}{30} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot 0 & \frac{2 \sqrt{30}}{5} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot 0 & \frac{29 \sqrt{5}}{150} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{5}}{75} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{30} & \frac{\sqrt{5}}{30} - \frac{2 \sqrt{30}}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{5}}{30} & - \frac{\sqrt{5}}{15} & \frac{\sqrt{5}}{30} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Passaggio 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{5}}{30} & - \frac{\sqrt{5}}{15} & \frac{\sqrt{5}}{30} \\ \frac{\sqrt{6}}{15} & \frac{\sqrt{6}}{30} & 0 \\ - \frac{1}{30} & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} \end{array}]$