Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{- t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.3

Somma $- t$ e $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - e^{t}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Passaggio 5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Passaggio 6

Scomponi $- 1$ da $- e^{t}$ .

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Passaggio 7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (e^{t})$ .

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Passaggio 9

Moltiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$e^{- t}$ e $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.3.3

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ e $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + e^{t}}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Passaggio 10.4.3

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ e $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$