Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Passaggio 2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $18$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Passaggio 2.2.5

Somma $- 6$ e $1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Passaggio 2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{18}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{18}{5}$ per $1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Passaggio 8

Moltiplica $- \frac{18}{5}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{18}{5}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.2

$\frac{- 6}{5}$ e $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 9.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{18}{5}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $6$ da $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.5.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.5.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{18}{5}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.7.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.7.3

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.7.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.7.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.8

$\frac{- 6}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.9

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{18}{5}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Passaggio 9.10.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Passaggio 9.10.3

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Passaggio 9.10.4

Scomponi $2$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 9.10.5

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 9.10.6

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Passaggio 9.11

Moltiplica $\frac{- 9}{5}$ per $\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 9.12

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 9.13

Moltiplica $5$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$