Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 8

Moltiplica $- 2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Passaggio 9

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

Passaggio 9.4.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$