Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 - x & - 2 & 0 \\ - 3 & 7 - x & 0 \\ 5 & 7 & 3 - x \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Passaggio 3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + (3 - x) ((4 - x) (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Espandi $(4 - x) (7 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 (7 - x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $7$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.2.2

Sottrai $7 x$ da $- 4 x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 1 \cdot 6)$

Passaggio 4.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 6)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $6$ da $28$ .

$0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

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Passaggio 5.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Passaggio 5.1.2

Somma $0$ e $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

$(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Passaggio 5.2

Espandi $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$3 (- 11 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 11$ per $3$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $3$ per $22$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.4.1

Sposta $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - x \cdot 22$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $22$ per $- 1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 22 x$

Passaggio 5.4

Sottrai $22 x$ da $- 33 x$ .

$3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 55 x$

Passaggio 5.5

Somma $3 x^{2}$ e $11 x^{2}$ .

$14 x^{2} + 66 - x^{3} - 55 x$