Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 2.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $a$ .

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 3.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Sposta $a$ .

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $a$ per $a^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Sposta $a^{2}$ .

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $a$ per $a^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Sposta $a^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.6.2

Moltiplica $a^{2}$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Eleva $a$ alla potenza di $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Sposta $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.7.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.8.3

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Passaggio 5.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

Passaggio 5.1.10

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

Passaggio 5.1.11

Moltiplica $b$ per $b^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Sposta $b^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

Passaggio 5.1.11.2

Moltiplica $b^{2}$ per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.2.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

Passaggio 5.1.11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

Passaggio 5.1.11.3

Somma $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Passaggio 5.2

Somma $a^{2} b$ e $a^{2} b$ .

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Passaggio 5.3

Sottrai $a^{3}$ da $- a^{3}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Passaggio 5.4

Somma $2 a^{2} b$ e $b a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riordina $b$ e $a^{2}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

Passaggio 5.4.2

Somma $2 a^{2} b$ e $a^{2} b$ .

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$